Elettromagnetismo

1 Fondamenti

1.1 Campo elettromagnetico PSW

Il campo elettromagnetico è un campo di forze. Le leggi che regolano il campo elettromagnetico sono:

legge di Faraday
legge di Ampere
legge di Gauss
legge di Gauss magnetica
legge di conservazione della carica.

Le prime quattro leggi costituiscono le leggi di Maxwell, le quali legano tra di loro:

il vettore intensità di campo elettrico $\underline{e}$ (in V/m)
il vettore induzione elettromagnetica $\underline{d}$ (in C/m²)
il vettore intensità di campo magnetico $\underline{h}$ (in A/m)
il vettore induzione magnetica $\underline{h}$ (in Wb/m²).

Le equazioni di Maxwell possono essere espresse in forma integrale e in forma differenziale, nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza. Le equazioni di Maxwell indipendenti sono soltanto due:

\underline{\nabla} \times \underline{e} = - \frac{\partial \underline{b}}{\partial t}

$\underline{\nabla} \times \underline{e} = - \dfrac{\partial \underline{b}}{\partial t}$

\underline{\nabla} \times \underline{h} = \frac{\partial \underline{d}}{\partial t} + \underline{j_{i}} + \underline{j}

$\underline{\nabla} \times \underline{h} = \dfrac{\partial \underline{d}}{\partial t} + \underline{j_i} + \underline{j}$

dove $\underline{j}$ è la densità di corrente impressa dovuta a cause esterne al campo, e $\underline{j}_i$ è la densità di corrente indotta dovuta al campo.

Esse contengono 5 incognite: $\underline{e}$ , $\underline{h}$ , $\underline{d}$ , $\underline{b}$ , $\underline{j}_i$ . Quindi servono 3 relazioni vettoriali per rendere determinato il problema, descrivendo il comportamento elettromagnetico del materiale in cui il campo si sviluppa; queste relazioni sono dette relazioni costitutive.

Le relazioni considerate sono macroscopiche: si considerano volumi macroscopici tali da essere abbastanza grandi da contenere una quantità importante di carica. Se considerassimo volumi troppo piccoli, sarebbe troppo evidente dove è presente e dove non è presente carica, e le leggi macroscopiche non funzionerebbero.

1.1.1 Campi trasversi

I campi elettrico e magnetico si dicono trasversi se sono entrambi ortogonali alla direzione direzione radiale/assiale (direzione di propagazione).

1.2 Propagazione PSW

1.2.1 Formula di Friis per la propagazione nel vuoto PSW

Nello spazio libero la propagazione di un segnale elettromagnetico è governata dalla formula di Friis:

P_{r} = P_{t} G_{T} G_{R} {(\frac{λ}{4 π R})}^{2}

$P_r = P_t\: G_T\: G_R\: \left( \dfrac{\lambda}{4\pi R} \right)^2$ , con:

$P_t$ , $G_T$ potenza trasmessa e guadagno dell'*antenna trasmittente;
$P_r$ , $G_R$ potenza ricevuta e guadagno dell'antenna ricevente.
$R$ distanza tra le antenne.

Quindi la potenza varia col quadrato della distanza.

1.2.2 Propagazione in ambiente urbano PSW

Se siamo nel vuoto, le condizioni di propagazione differiscono in maniera importante, ad esempio per effetto del suolo o dei palazzi. In ambito urbano si deve tener conto nella valutazione della potenza ricevuta di tre termini principali: fading rapido, fading lento, e un terzo contributo dominante che varia in funzione della distanza $R$ .

1.2.3 Volume di rispetto PSW

Il volume di rispetto è un volume tale per cui il campo elettromagnetico non deve superare, all'esterno di esso, il valore massimo di potenza stabilito per legge.

Piano laterale e piano verticale
Per studiare la propagazione in ambiente urbano, si considera la propagazione relativamente a due piani geometrici:
- piano laterale la propagazione avviene per riflessioni multiple fra ostacoli. Il segnale viaggia attorno o attraversa tali ostacoli. È un'attenuazione molto forte, e si hanno diversi cammini multipli. Nel caso di microcelle ci si limita a studiare il piano laterale.
- Piano verticale piano contenente le due antenne. L'attenuazione è meno accentuata rispetto a quella del piano laterale. All'aumentare della distanza, i cammini tra le due antenne si fanno sempre più intricati. Nel caso delle macrocelle ci si limita a studiare il piano verticale.

1.2.4 Come si studia la propagazione in ambiente umano PSW

Per studiare la propagazione del segnale elettromagnetico in ambiente urbano, bisognerebbe tener conto di tutti gli edifici e di tutte le loro caratteristiche (geometria, materiali utilizzati, ecc.). Siccome una tale stima è molto difficile, si preferisce per praticità mediante stima aleatoria dell'ambiente (o modello probabilistico, o modello di previsione della propagazione) o mediante campagne di misura sul luogo.

Nei servizi di telecomunicazione moderni come la telefonia mobile, bisogna tener conto di:

l'alterazione massima del segnale;
le interferenze tra celle differenti funzionanti alla stessa frequenza.

1.2.5 Caratteristiche della propagazione per ambienti urbani PSW

Si considerano due antenne trasmittente Tx e ricevente Rx, poste a distanza $R$ tale da considerarle in campo lontano (cioé in zona di Fraunhofer): la distanza $R$ è cioè molto più grande rispetto alle dimensioni delle sorgenti del campo. La formula di Friis afferma che la potenza $P_R$ ricevuta da un'antenna Rx è, in condizioni di spazio libero:

P_{R} = \frac{G_{T} G_{R} λ^{2}}{(4 π)^{2} R^{2}} P_{T} = \frac{P_{T} A}{R^{2}}

$P_R = {\frac{G_TG_R\lambda^2}{{(4\pi)^2R^2}}P_T} = \frac{P_TA}{R^2}$

con:

$G_T$ e $G_R$ guadagni rispettivamente delle antenne Tx ed Rx
$\lambda$ lunghezza d'onda del segnale portante radio
$A$ parametro costante, una volta fissate le antenne e la frequenza del collegamento
$P_T$ potenza emessa dall'antenna trasmittente.

La variazione con la distanza del tipo $1/R^2$ non consente il riutilizzo delle frequenze, in quanto il segnale non sarebbe sufficientemente attuenato tra zone differenti di una stessa area metropolitana. È possibile utilizzare l'approssimazione di terra piatta, nel caso di antenne in vicinanza del suolo e di stazioni radiobase in posizioni non troppo elevate. Allora la potenza ricevuta $P_R$ vale:

P_{R} = \frac{P_{T} A}{R^{4}}

$P_R = \frac{P_TA}{R^4}$

Per la propagazione in ambiente urbano, nel caso di spazio libero e stazioni radiobase poste in punti elevati, l'andamento della potenza ricevuta con la distanza è del tipo $1/R^n$ , con $n$ (detto index range) tipicamente tra 3 e 4 Se le stazioni radiobase sono poste in punti non particolarmente elevati, $n$ può essere maggiore di 4. Inoltre si hanno variazioni aleatorie significative, dovute al fast fading e allo shadow fading. All'interno degli edifici, la propagazione del segnale presenta caratteristiche differenti. Per la copertura di una singola area metropolitana, si suddivide l'area in un numero $N$ di regioni in cui si riutilizza lo stesso insieme di $N_c$ canali in frequenza. Il numero totale di chiamate simultanee è $NN_c$ . Ognuna delle $N$ regioni è suddivisa in $N_R$ celle, ciascuna operante a una certa frequenza assegnata da una stazione radiobase. Si utilizza lo stesso canale in frequenza per celle la cui distanza è abbastanza grande da mantenere l'interferenza accettabile.

Copertura di una zona con celle lineari (es. autostrada)

Si vuole realizzare la copertura di una zona lineare (figura). Considerando il problema come monodimensionale, si suddivide ciascuna delle due regioni in $N_R$ celle di raggio $r_c$ . La cella $1$ opera a frequenza $f_1$ , la cella $2$ a frequenza $f_2$ , la cella $3$ a frequenza $f_3$ , ecc. Quando un utente si trova nella frontiera tra le celle $1$ e $2$ della regione $1$ , allora riceverà in downlink la minima potenza $P$ (essendo alla massima distanza $r_c$ dalla stazione radiobase (RBS) della cella $1$ ) e la massima interferenza $I$ dalla cella $1$ della regione $2$ (in quanto le celle $1$ delle due regioni utilizzano la stessa frequenza di trasmissione). Se ad esempio $N_R = 3$ , la distanza dell'utente dalla RBS della cella $1$ della regione $2$ è pari a $5r_c$ . Per un numero $N_R$ generico si ha che la distanza fra la più vicina stazione radiobase interferente e il terminale mobile è $(2N_R - 1)r_c$ . La potenza $S$ del segnale che arriva al terminale mobile vale:

$S = \frac{P_{T} A}{r_{c}^{n}} .$ $S = \frac{P_TA}{r_c^n}.$

Il segnale interferente vale invece:

$I = \frac{P_{T} A}{[(2 N_{R} - 1) r_{c}]^{n}}$ $I = \frac{P_TA}{[(2N_R -1 )r_c]^n}$

essendo $n$ l'indice di attenuazione (2 nello spazio libero, tra 2 e 4 in ambiente urbano), $P_T$ la potenza di trasmissione delle stazioni radiobase, che si suppone uguale per tutte e 6. Il rapporto tra potenza di segnale e potenza di interferenza nel caso peggiore di bordo cella è:

$\frac{S}{I} = \frac{\bcancel P_{T} \bcancel A}{\bcancel r_{c}^{n}} \frac{[2 N_{R} - 1]^{n} \cancel r_{c}^{2}}{\cancel P_{T} \cancel A} = (2 N_{R} - 1)^{n} .$ $\frac{S}{I} = \frac{\bcancel{P_T}\bcancel{A}}{\bcancel{r_c^n}}\frac{[2N_R - 1]^n\cancel{r_c^2}}{\cancel{P_T}\cancel{A}} = (2N_R - 1)^n.$

Tipicamente il valore di $S/I$ richiesto dev'essere superiore a $17\ dB$ . Nel caso di spazio libero ( $n=2$ ) per avere un rapporto $S/I$ superiore a $17\ dB$ devo avere minimo $N_R = 4$ celle per regione: $20Log[2(4)-1]^2 = 33.8\ dB$ . Per attenuazioni più forti (es. $n=4$ ), $N_R$ può anche essere uguale a 2. L'obiettivo è quello di utilizzare il minor numero di stazioni radiobase, visti i costi relativi all'installazione e alla manutenzione. Nel caso di uplink il discorso è simile, ma la potenza $P_T$ trasmessa da ciascun terminale mobile può non essere la stessa.
Copertura bidimensionale di un'area metropolitana

Per il progetto della copertura bidimensionale di un'area metropolitana, si utilizzano concettualmente celle esagonali, in quanto l'esagono permette di "piastrellare" una regione piana con regolarità; inoltre l'esagono approssima i contorni circolari di uguale intensità quando la propagazione è isotropica (cioè è a uguale intensità in tutte le direzioni). Nella realtà non si hanno maglie a celle esagonali: le celle hanno una forma irregolare e sono parzialmente sovrapposte per evitare buchi nella copertura. Utilizzando celle esagonali, il riuso del canale prevede di suddividere la zona in regioni composte ciascuna da 7 celle (figura). Un insieme di celle adiacenti che utilizzano tutte le frequenze (canali) disponibili è detto cluster. Le celle a frequenze diverse si dicono disgiunte, quelle che utilizzano la stessa frequenza si dicono di co-canale. Se i trasmettitori sono posti a centro cella, le celle di co-canale giacciono su un perimetro circolare detto tier attorno alla cella centrale. Con le celle esagonali e regioni di 7 esagoni, si hanno 6 celle di co-canale poste idealmente a distanza $D$ dalla cella di riferimento. La distanza $d$ è detta distanza di riutilizzo delle frequenze. L'area di una singola cella esagonale è pari all'area dei 6 triangoli che lo compongono, ciascuno di area $A_{cella}=bh/2$ , con $b=r_c$ e $h=r_c \sin 60^{\circ}$ . Quindi l'area di una cella esagonale è $6(r_c^2/2)\sin 60^{\circ} = 3(r_c^2)sin60^{\circ}$ . Il legame tra il numero di celle $N_R$ e la distanza $D$ di riutilizzo delle frequenze è:

$A_{regione 7 celle} = N_{R} A_{cella} = D^{2} \sin 60^{\circ} = N_{R} (3 r_{c}^{2} \sin 60^{\circ}) \Rightarrow N_{R} = \frac{1}{3} (\frac{D}{r_{c}})^{2}$ $A_\text{regione 7 celle} = N_R A_\text{cella} = D^2\sin{60^\circ} = N_R(3r_c^2 \sin{60^\circ}) \Rightarrow N_R = \frac{1}{3}\Big(\frac{D}{r_c}\Big)^2$ , $\Rightarrow \frac{D}{r_{c}} = \sqrt{3 N_{R}} .$ $\Rightarrow \frac{D}{r_c} = \sqrt{3N_R}.$

Si vuole valutare l'interferenza di downlink dovuta alle celle di co-canale, supponendo che il ricevitore sia a bordo cella, sulla cella posta al centro, avente 6 celle di co-canale nei dintorni. In questa situazione due celle distano circa $D+r_c$ dalla cella dove si trova l'utente, altre due celle distano circa $D-r_c$ e le ultime due distano circa $R$ . Si assume che il segnale ricevuto dalla stazione radiobase S valga:

$S = \frac{P_{T} A}{r_{c}^{n}} .$ $S = \frac{P_TA}{r_c^n}.$

Il segnale interferente $I$ vale invece:

$I = P_{s e g n a l e i n t e r f e r e n t e} = \frac{P_{T} A}{[(2 N_{R} - 1) r_{c}]^{n}}$ $I = P_{\ segnale\ interferente} = \frac{P_TA}{[(2N_R-1)r_c]^n}$

con $P_T$ potenza di trasmissione delle base stations, che si suppone uguale per tutte e 6. L'interferenza $I$ , considerando i 6 contributi delle celle di co-canale (e trascurando i contributi di interferenza delle altre celle) vale:

$I = P_{T} A [\frac{1}{(D - r_{c})^{n}} + \frac{1}{D^{n}} + \frac{1}{(D + r_{c})^{n}} + \frac{1}{(D - r_{c})^{n}} + \frac{1}{D^{n}} + \frac{1}{(D + r_{c})^{n}}] =$ $I={P_T}{A}\bigg[\frac{1}{(D-r_c)^n}+\frac{1}{D^n}+\frac{1}{(D+r_c)^n}+\frac{1}{(D-r_c)^n}+\frac{1}{D^n}+\frac{1}{(D+r_c)^n}\bigg] =$

$= 2 \frac{P_{T} A}{R_{c}^{n}} [\frac{1}{(\frac{D}{r_{c}} - 1)^{n}} + (\frac{D}{r_{c}} + 1)^{n} + (\frac{D}{r_{c}})^{n}] =$ $= 2 \frac{P_TA}{R_c^n}\bigg[\frac{1}{(\frac{D}{r_c}-1)^n}+(\frac{D}{r_c}+1)^n+(\frac{D}{r_c})^n\bigg] =$

$= 2 \frac{P_{T} A}{r_{c}^{n}} [\frac{1}{(\sqrt{3 N_{R}} - 1)^{n}} + \frac{1}{(\sqrt{3 N_{R}} + 1)^{n}} + \frac{1}{(\sqrt{3 N_{R}})^{n}}] .$ $= 2\frac{P_TA}{r_c^n}\bigg[\frac{1}{(\sqrt{3N_R}-1)^n}+\frac{1}{(\sqrt{3N_R}+1)^n}+\frac{1}{(\sqrt{3N_R})^n} \bigg].$

Il rapporto S/I vale:

$\frac{S}{I}= \frac{\bcancel{P_T}\bcancel{A}}{\bcancel{r_c^n}} \frac{\big 1}{{\big {\frac{2 \cancel{P_T} \cancel{A}}{\cancel{r_c^n}}}}\frac{\big 1}{\bigg[ \frac{\big 1}{\big{(\sqrt{3N_R}-1)^n}}+\frac{\big 1}{(\big{\sqrt{3N_R}+1)^n}}+\frac{\big 1}{(\big{\sqrt{3N_R})^n}} \bigg]}} =$ $\frac{S}{I}= \frac{\bcancel{P_T}\bcancel{A}}{\bcancel{r_c^n}} \frac{\big 1}{{\big {\frac{2 \cancel{P_T} \cancel{A}}{\cancel{r_c^n}}}}\frac{\big 1}{\bigg[ \frac{\big 1}{\big{(\sqrt{3N_R}-1)^n}}+\frac{\big 1}{(\big{\sqrt{3N_R}+1)^n}}+\frac{\big 1}{(\big{\sqrt{3N_R})^n}} \bigg]}} =$

$= \frac{1}{2}\frac{\big 1}{\bigg[ \frac{\big 1}{\big{(\sqrt{3N_R}-1)^n}}+\frac{\big 1}{(\big{\sqrt{3N_R}+1)^n}}+\frac{\big 1}{(\big{\sqrt{3N_R})^n}} \bigg]}.$ $= \frac{1}{2}\frac{\big 1}{\bigg[ \frac{\big 1}{\big{(\sqrt{3N_R}-1)^n}}+\frac{\big 1}{(\big{\sqrt{3N_R}+1)^n}}+\frac{\big 1}{(\big{\sqrt{3N_R})^n}} \bigg]}.$

Prendendo $n=4$ (valore di $n$ tipico nella propagazione in ambiente urbano) e $N_R = 7$ , si ottiene un rapporto $S\slash I$ maggiore di $17\ dB$ . In spazio libero, con $n=2$ , il numero $N_R$ di celle necessarie per ottenere lo stesso rapporto segnale/interferenza aumenta a dismisura e risulta difficile garantire una copertura adeguata. Per aumentare il rapporto segnale/interferenza si possono usare antenne direzionali che introducono anisotropia nella copertura (il campo non varia con la direzione di irradiamento). Nelle zone in cui si ha $n > 2$ (andamento della potenza più decrescente rispetto al caso $n=2$ di spazio libero) si ha un'attenuazione più elevata che rende più difficile la copertura, ma permette al contempo di riutilizzare il canale a distanze minori.

Utilizzando $N_R=7$ celle per regione, si può dividere ciascuna cella esagonale in 3 settori e in ciascun settore si pone un'antenna di fascio $120^\circ$ . Ogni antenna è a frequenza diversa: serviranno in tal caso $7 \times 3 = 21$ bande di frequenza (una frequenza per settore), e non 7; quindi aumenta il numero di celle richieste. Con le antenne direzionali però si riduce il numero di stazioni radio-base da utilizzare, così come la distanza del terminale mobile posto a bordo cella e la stazione base interferente più vicina. L'interferenza è ridotta di un terzo (riguarda per ciascuna frequenza la regione racchiusa dall'angolo di $120^\circ$ ).

In alternativa si possono usare $N_R=21$ celle e posizionare le stazioni radio-base sul vertice della cella e non al centro. L'RBS in questo caso serve 3 celle, ognuna delle quali può essere servita con un'antenna direzionale con larghezza di fascio di $60^\circ$ . Essendo in questo caso inferiore la larghezza del fascio (rispetto al caso di cella divisa in 3 settori), si hanno meno interferenze tra stazioni radio-base alla stessa frequenza. Si può usare il modello standard di propagazione in spazio libero (quindi la formula di Friis) nel caso in cui esista un percorso diretto tra Tx ed Rx. Tuttavia in ambiente urbano esistono generalmente diversi percorsi che collegano Tx ed Rx: questi percorsi multipli permettono al segnale di arrivare a destinazione in situazioni NLOS (Non-Line Of Sight), in cui cioè le antenne Tx ed Rx non si vedono direttamente l'una con l'altra. Anche nel caso in cui le antenne Tx ed Rx siano in LOS avviene che il segnale ricevuto contenga contributi provenienti da percorsi NLOS tra Tx ed Rx.

1.2.6 Multipath e fading

Il multipath è quel fenomeno per cui al ricevitore arrivano diverse copie del segnale con diversa ampiezza e ritardo; queste copie sono chiamate echi.

Nel dominio della frequenza si distingue tra flat fading e selective fading.

Si parla di flat fading nel caso in cui la banda $B_{\text{segnale}}$ del segnale trasmesso sia molto minore della banda $B_{\text{canale}}$ del canale affetto da multipath: $B_{\text{segnale}} \ll B_{\text{canale}}$ . In tal caso tutte le componenti spettrali del segnale sono trattate dal fenomeno allo stesso modo.

Nel caso in cui $B_{\text{segnale}} > B_{\text{canale}}$ , il fading è selettivo in frequenza (selective fading). Questa differenza non tiene conto degli effetti dovuti ai movimenti reciproci tra trasmittente e ricevente.

Nel dominio del tempo, si distingue tra fading lento e fading veloce.

Il fading veloce è un fenomeno che si presenta quando il del canale è piccolo rispetto al requisito sul ritardo dell'applicazione. Ampiezza e fase del segnale variano in maniera sensibile nel tempo.

Il fading lento o shadow fading si verifica quando un ostacolo di grandi dimensioni occlude il percorso principale del segnale. Per modellare lo shadow fading si utilizza una distribuzione log-normale. Si verifica quando il del canale è elevato rispetto al requisito sul ritardo dell'applicazione.

Fading e propagazione del segnale in ambiente urbano
Il segnale che si propaga in ambiente urbano è caratterizzato da:
- 3 scale di variazione spaziale:
  - fast fading;
  - shadow fading,
  - variazione con la distanza di tipo $1/r^n$ ;
- variazioni temporali;
- polarizzazione mista.
Quando il ricevitore (Rx) si sposta lungo un ambiente urbano, il segnale dalla stazione radiobase (RBS) è ricevbuto attraverso cammini multipli. Per spostamenti dell'ordine delle decine di centimetri, il campo tende a variare considerevolmente: varia anche di 20 dB tra un punto e l'altro, cioè il campo varia con un rapporto $1:100$ . Per spostamenti dell'ordine di qualche metro, la variazione del segnale può essere anche di 30 dB (rapporto $1:1000=1:10^3$ ). Queste variaziopni rapide sono dovute alla presenza, in ambiente urbano, di riflessioni, diffrazione, scattering

1.3 Potenziali scalare elettrico e vettore magnetico PSW

Le equazioni di Maxwell scritte in termini di campo elettrico $\underline{E}(\underline{r}, t)$ e magnetico $\underline{B}(\underline{r}, t)$ , ci assicurano che esistono una funzione scalare $\phi(\underline{r}, t)$ , detta potenziale scalare elettrico, e un vettore $\underline{A}(\underline{r}, t)$ , detto potenziale vettore magnetico, tali che:

\underline{E} (\underline{r}, t) = - \frac{\partial}{\partial t} \underline{A} (\underline{r}, t) - \underline{\nabla} ϕ (\underline{r}, t)

$\underline{E}(\underline{r}, t) = -\dfrac{\partial}{\partial t} \underline{A}(\underline{r}, t) - \underline{\nabla}\phi(\underline{r}, t)$ ,

\underline{B} (\underline{r}, t) = \underline{\nabla} \times \underline{A} (\underline{r}, t)

$\underline{B}(\underline{r}, t) = \underline{\nabla} \times \underline{A}(\underline{r}, t)$ .

Le due equazioni precedenti definisco i potenziali vettore elettrico e magnetico in modo implicito e non univoco. Le seguenti equazioni, rappresentanti la cosiddetta trasformazione di gauge, lasciano inalterati i campi elettrico e magnetico:

ϕ^{'} = ϕ - \frac{\partial ψ}{\partial t} \to ϕ^{'} = ϕ - j ω ψ

$\phi'= \phi-\dfrac{\partial \psi}{\partial t} \to \phi'= \phi-j\omega \psi$ ,

\underline{A^{'}} = \underline{A} + \underline{\nabla} ψ

$\underline{A'}=\underline{A} + \underline{\nabla} \psi$ , con

ψ = ψ (r)

$\psi = \psi(r)$ funzione arbitraria.

Se si scelgono i potenzili vettore e scalare in maniera che sussista la condizione seguente (detta gauge di Lorenz):

\underline{\nabla} \cdot \underline{A} (\underline{r}, t) + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial V}{\partial t} = 0

$\underline{\nabla} \cdot \underline{A}(\underline{r}, t) + \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial V}{\partial t} = 0$ .

Qualora i due potenziali soddisfino tale equazione, si ottengono le equazioni delle onde elettromagnetiche, ossia le equazioni di Maxwell riscritte in termini di potenziali:

\nabla^{2} \underline{A} (\underline{r}, t) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \underline{A} (\underline{r}, t)}{\partial t^{2}} = - μ_{0} J (\underline{r}, t)

$\nabla^2 \underline{A}(\underline{r}, t) - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2\underline{A}(\underline{r}, t)}{\partial t^2} = -\mu_0J(\underline{r}, t)$ ,

\nabla^{2} ψ (\underline{r}, t) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = - \frac{ρ (\underline{r}, t)}{ϵ_{0}}

$\nabla^2 \psi(\underline{r}, t) - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = -\dfrac{\rho(\underline{r}, t)}{\epsilon_0}$ .

Se i campi variano lentamente, allora i potenziali risultano univocamente determinati, note le sorgenti del campo. Si possono scegliere gauge diversi da quello di Lorenz. Il potenziale scalare elettrico è definito solo a meno della derivata temporale di una funzione scalare, e il potenziale vettore magnetico a meno del gradiente della stessa funzione. Per definire i campi si introducono delle condizioni di gauge, es. fissando il valore della divergenza del potenziale vettore magnetico.

1.4 Copertura di una stazione radiobase PSW

L'area di copertura di una stazione radiobase è la zona geografica entro la quale è possibile stabilire una comunicazione bidirezionale con la qualità del servizio desideratà. La condizione necessaria è che l'attenuzione in dB $A_{\text{totale \textbf{dB}}}$ tra la stazione radiobase e il punto geografico considerato sia tale che valgano contemporaneamente le relazioni:

{\begin{cases} P_{BS \textbf{dB}} - A_{totale \textbf{dB}} + G_{MS \textbf{dB}} \geq S_{MS \textbf{dB}} \\ P_{MS \textbf{dB}} - A_{totale \textbf{dB}} + G_{BS \textbf{dB}} \geq S_{BS \textbf{dB}} \end{cases}

$\begin{cases} P_{\text{BS \textbf{dB}}} - A_{\text{totale \textbf{dB}}} + G_{\text{MS \textbf{dB}}} \geq S_{\text{MS \textbf{dB}}} \\ P_{\text{MS \textbf{dB}}} - A_{\text{totale \textbf{dB}}} + G_{\text{BS \textbf{dB}}} \geq S_{\text{BS \textbf{dB}}} \end{cases}$ ,

con:

$P_{\text{BS \textbf{dB}}}$ potenza della stazione radiobase;
$P_{\text{MS \textbf{dB}}}$ potenza del terminale mobile;
$S_{\text{BS \textbf{dB}}}$ sensibilità della stazione radiobase;
$S_{\text{MS \textbf{dB}}}$ sensibilità del terminale mobile;
$G_{\text{BS \textbf{dB}}}$ guadagno della stazione radiobase;
$G_{\text{MS \textbf{dB}}}$ guadagno terminale mobile.

L'area di copertura di un sistema radiomobile è pari all'unione di tutte le aree di copertura di tutte le stazioni radiobase.

Per stimare l'attenuazione si possono utilizzare diversi approcci

1.5 Teorema di Poynting PSW

È una relazione integrale che deve essere soddisfatta dalle soluzioni delle equazioni di Maxwell. Esprime il principio di conservazione dell'energia per il campo elettromagnetico.

1.6 Dipolo elementare PSW

Il dipolo elementare è un sistema di due fili orientati lungo un asse (es. z) con un gap nel centro. La corrente scorre anch'essa lungo l'asse z. Il campo elettrico ha due componenti $E_{r}$ ed $E_{\vartheta}$ . Il campo magnetico ha la sla componente $E_{\phi}$ . Il campo vicino ( $\beta r \ll 1$ ) è essenzialmente elettrico (la componente magnetica è trascurabile). In campo lontano ( $\beta r \gg 1$ ), i campi elettrico e magnetico non sono direttamente confrontabili.

1.6.1 Campo di un dipolo elementare

In un sistema sferico, il campo nel punto $P=(r, \vartheta, \varphi)$ prodotto da un dipolo elementare di ampiezza $I\Delta z$ posto nell'origine è:

E_{r} = j \frac{ζ I Δ z}{2 λ r} [0 + \frac{1}{j β r} + \frac{1}{(j β r)^{2}}] e^{- j β r} 2 \cos (ϑ)

$E_r = j \dfrac{\zeta I \Delta z}{2 \lambda r} \left[ 0 + \dfrac{1}{j \beta r} + \dfrac{1}{(j \beta r)^2} \right]e^{-j \beta r} 2 \cos(\vartheta)$ ,

E_{ϑ} = j \frac{ζ I Δ z}{2 λ r} [1 + \frac{1}{j β r} + \frac{1}{(j β r)^{2}}] e^{- j β r} \sin (ϑ)

$E_{\vartheta} = j \dfrac{\zeta I \Delta z}{2 \lambda r} \left[ 1 + \dfrac{1}{j \beta r} + \dfrac{1}{(j \beta r)^2} \right]e^{-j \beta r} \sin(\vartheta)$ ,

H_{φ} = j \frac{I Δ z}{2 \lamba r} [1 + \frac{1}{j β r} + 0] e^{- j β r} \sin (ϑ)

$H_{\varphi} = j \dfrac{I \Delta z}{2 \lamba r} \left[1 + \dfrac{1}{j \beta r} + 0 \right] e^{-j\beta r}\sin(\vartheta)$ .

Queste equazioni valgono ovunque nello spazio, eccetto che nel punto dove si trova il dipolo.

Punto campo lontano dal dipolo elementare

Se il punto campo è molto distante dal dipolo, cioè se $\beta r \ll 1$ , le frazioni dentro le parentesi quadre nelle espressioni del campo del dipolo elementare vanno a zero, quindi si annulla il contributo $E_r$ , e il campo diventa:

$E_{ϑ} = j \frac{ζ I Δ z}{2 λ r} e^{- j β r} \sin (ϑ)$ $E_{\vartheta} = j \dfrac{\zeta I \Delta z}{2 \lambda r} e^{-j \beta r} \sin(\vartheta)$

$H_{φ} = j \frac{I Δ z}{2 \lamba r} e^{- j β r} \sin (ϑ) = \frac{1}{ζ} E_{ϑ}$ $H_{\varphi} = j \dfrac{I \Delta z}{2 \lamba r} e^{-j\beta r}\sin(\vartheta) = \dfrac{1}{\zeta} E_{\vartheta}$ .

I campi sono quindi trasversi, e variano con $r$ allo stesso modo. Il campo si propaga in direzione radiale. Esprimendo il campo in termini vettoriali:

$\underline{E} = ζ \underline{H} \times {\underline{i}}_{r}$ $\underline{E} = \zeta \underline{H} \times \underline{i}_r$ .

Il campo lontano di un dipolo elementare è un'onda sferica con superfici sferiche equifase ed equiampiezza. In una zona limitata rispetto al raggio dell'onda sferica, la sfera risulta quasi indistinguibile dal suo piano tangente, e la possiamo approssimare a un'onda piana (sempre in una regione limitata dello spazio rispetto al raggio della sfera); quindi approssimando otteniamo un'onda piana che viaggia in direzione radiale. Per $\beta r \to \infty$ lo stesso discorso vale per il campo di più dipoli.
1. Condizioni di Sommerfeld
  
  Sono le condizioni che debbono valere affinché il campo possa essere approssimato a un'onda piana che viaggia verso l'infinito:
  
  $lim_{r \to \infty} r | \underline{E} | < \infty$ $\lim_{r \to \infty} r |\underline{E}| < \infty$ ,
  
  $lim_{r \to \infty} r | \underline{H} | < \infty$ $\lim_{r \to \infty} r |\underline{H}| < \infty$
  
  $lim_{r \to \infty} r | \underline{E} - ζ \underline{H} \times {\underline{i}}_{r} | = 0$ $\lim_{r \to \infty} r |\underline{E}-\zeta \underline{H} \times \underline{i}_r| = 0$ .
Punto campo vicino al dipolo elementare

Per $\beta r \ll 1$ si possono trascurare tutti i termini delle espressioni tra parentesi quadre nelle espressioni del campo, ed $e^{-j β r} è circa uguale a 1, perciò:

$E_{r} = j \frac{ζ I Δ z}{2 λ r} {[\frac{1}{j β r}]}^{2} 2 \cos (ϑ)$ $E_r = j \dfrac{\zeta I \Delta z}{2 \lambda r} \left[ \dfrac{1}{j \beta r} \right]^2 2 \cos(\vartheta)$

$E_{ϑ} = j \frac{ζ I Δ z}{2 λ r} {[\frac{1}{j β r}]}^{2} \sin (ϑ)$ $E_{\vartheta} = j \dfrac{\zeta I \Delta z}{2 \lambda r} \left[ \dfrac{1}{j \beta r} \right]^2 \sin(\vartheta)$

$H_{φ} = j \frac{I Δ z}{2 \lamba r} [\frac{1}{j β r}] \sin (ϑ)$ $H_{\varphi} = j \dfrac{I \Delta z}{2 \lamba r} \left[\dfrac{1}{j \beta r} \right] \sin(\vartheta)$ .

Il campo magnetico è un infinito di ordine inferiore rispetto al campo elettrico: il campo vicino di un dipolo è essenzialmente elettrico.

1.6.2 Resistenza d'irradiazione e resistenza d'ingresso

R_{irr} = \frac{2 π}{3} ζ {(\frac{h_{M}}{λ})}^{2} ≅ 800 {(\frac{h_{M}}{λ})}^{2}

$R_{\text{irr}} = \dfrac{2\pi}{3} \zeta \left( \dfrac{h_M}{\lambda} \right)^2 \cong 800 \left( \dfrac{h_M}{\lambda} \right)^2$ .

Per ottenere la resistenza d'ingresso, si divide la resistenza di irradiazione per l'efficienza $\eta$ . Esse coincidono se non si hanno perdite (di potenza).

1.7 Dipolo corto PSW

Se il dipolo elementare ha lunghezza molto minore della lunghezza d'onda, allora si dice dipolo corto. È il più semplice caso d'antenna.

1.8 Monopolo PSW

Un'antenna monopolare consiste in un braccio di un dipolo posto sopra il terreno (o, idealmente, su un piano metallico), che funge da secondo braccio. Il monopolo deve essere appoggiato con asse perpendicolare al piano. L'altezza del monopolo dovrebbe idealmente essere $\lambda/4$ (un quarto della lunghezza d'onda della frequenza centrale). Un monopolo lungo un quarto di lunghezza d’onda posto su un piano metallico risuona e irradia, nella regione superiore al piano, lo stesso campo di un dipolo a $\lambda/2$ .

1.9 Costante di propagazione k PSW

La costante di propagazione è una costante che vale $k = \omega^2\epsilon\mu$ , e che rappresenta l'ampiezza di un vettore detto vettore di propagazione $\underline{k}$ , ortogonale ai campi elettrico e magnetico. Se la direzione $\underline{i_k}$ del vettore $\underline{k}$ è reale, l'onda è piana od omogenea. Se il vettore $\underline{k}$ è immaginario puro, l'onda è piana in cut-off (il campo si attenua senza dissipare potenza). Se $\underline{k}$ ha sia parte reale che parte immaginaria, la direzione non è reale e l'onda piana è inomogenea Se $k$ è reale, non si hanno perdite di potenza; se $k$ è complesso, si avranno delle perdite.

1.10 Onda sferica PSW

Il campo lontano di un dipolo corto o elementare è caratterizzato dal fatto che la fase è costante sulle sfere centrate sulla posizione del dipolo. Queste superfici sono dette equifase o fronti d'onda dell'onda che si propaga. Un'onda in cui le superfici equifase ed equiampiezza sono sfere concentriche è detta onda sferica. L'insieme di superfici equifase individua un insieme di curve, dette raggi, che sono in ogni punto ortogonali a una superficie equifase. Se approssimiamo la superficie sferica col suo piano tangente, si ha un'onda piana, in cui i raggi sono tra loro paralleli. In una zona limitata è possibile effettuare tale approssimazione, con un errore di fase, che si considera accettabile se al di sotto di 5°.

1.11 Antenna PSW

L'antenna è una struttura, generalmente fatta in un buon materiale conduttore, avente dimensione e forma tali da irradiare la radiazione elettromagnetica nel modo più efficiente possibile. L'onda elettromagnetica è generata da un conduttore che alimenta l'antenna con una corrente variabile nel tempo. Siccome correnti che variano nel tempo irradiano onde elettromagnetiche, si eccitano le correnti variabili nel tempo sull'antenna collegandola a una sorgente opportuna, di solito per mezzo di una linea di trasmissione o di una guida d'onda. Per irradiare in modo efficiente, la dimensione minima dell'antenna deve essere paragonabile alla lunghezza d'onda. Se la densità di corrente J eccitata sull'antenna è nota, si può calcolare il campo elettromagnetico irradiato. Il problema è determinare la corrente J tale che il campo risultante soddisfi le condizioni al contorno dell'antenna. Il modo di evolversi delle onde elettromagnetiche nel tempo e nello spazio è descritto dalle leggi di Maxwell.

1.11.1 Antenna a lambda/2 PSW

Resistenza d'irradiazione e resistenza d'ingresso

$R_{irr} = 73.1 Ω$ $R_{\text{irr}} = 73.1\ \Omega$ .

Per ottenere la resistenza d'ingresso, si divide la resistenza di irradiazione per l'efficienza $\eta$ . Esse coincidono se non si hanno perdite (di potenza).

1.11.2 Massimo guadagno di un'antenna PSW

Il massimo guadagno possibile di un'antenna si ottiene quando essa è illuminata al massimo, e vale:

G_{MAX} = \frac{4 π}{λ^{2}} A_{eff} \leq \frac{4 π r R^{2}}{λ^{2}}

$G_{\text{MAX}} = \dfrac{4\pi}{\lambda^2}A_{\text{eff}} \leq \dfrac{4\pi r R^2}{\lambda^2}$ .

1.11.3 Antenna filiforme PSW domande

Un'antenna filiforme è composta da due aste metalliche sottili separate da un gap cui è collegata l'alimentazione, che fornisce un campo alla struttura. È caratterizzata da un parametro detto fattore di snellezza $\Omega$ :

Ω = l o g {(\frac{2 ℓ}{a})}^{2} > 10

$\Omega = log \left( \dfrac{2\ell}{a} \right)^2 > 10$

con: - $\ell$ semi-lunghezza dell'antenna;

$a \ll 2\ell$ raggio della sezione orizzontale dell'antenna.

Se l'antenna è snella, e il conduttore è un CEP, la corrente è solamente superficiale, la corrente non dipende alla componente $\phi$ ed è diretta lungo l'asse dell'antenna (che fissiamo coincidente con l'asse z). Sulle basi dell'antenna, inoltre, la corrente tende a convergere radialmente (fig. radiale)

È l'antenna più semplice possibile. () Per avere una buona efficienza, l'antenna filiforme deve avere lunghezza pari a $\lambda/2$ , con $\lambda$ lunghezza d'onda del mezzo in cui si trova l'antenna (nel caso dello spazio, il vuoto). Per descrivere matematicamente la corrente su un'antenna, si nota innanzitutto che per antenne piccole rispetto alla lunghezza d'onda $\lambda$ si ha un andamento triangolare della corrente. Per un'antenna a $\lambda/2$ si ha un andamento smussato rispetto a quello triangolare. All'aumentare di $\lambda$ , la corrente assume una forma sinusoidale.

Il campo di un'antenna è facilmente calcolabile quando è nota la distribuzione di corrente $J$ . Ben più difficile è il problema inverso: dato un campo che rispetta certe condizioni al contorno, calcolare la distribuzione di corrente $J$ che lo ha generato. Tale corrente dipende infatti dalla struttura e geometria della antenna nonché dal tipo di alimentazione. Di solito non si riesce a trovare la soluzione esatta del problema, ma quella approssimata con un certo grado di errore che si fa in modo di rendere il più piccolo possibile.

Un'antenna può essere alimentata usando una linea di trasmissione o un'alimentazione coassiale attraverso il piano di terra. Questi sistemi di alimentazione influenzano direttamente le caratteristiche di impedenza dell'antenna

Modello di alimentazione a delta-gap

L'alimentazione a delta-gap modella la sorgente assumendo che il campo elettrico esista solo nel piccolo gap tra i due terminali dell'antenna. Il campo sul gap è uniforme e assiale (cioé diretto lungo z, cioè l'asse dell'antenna). Il campo tangente sul cilindro di conduttore è nullo: $\underscore{i}_n \times \underscore{E} = \underscore{0}$ . Sulle basi dell'antenna la corrente tende a convergere radialmente e tende a zero al centro delle basi del cilindro.
Equazione di Pocklington PSW

L'equazione di Pocklington è uno strumento utile per ottenere la distribuzione di corrente sull'antenne. Precisamente, è un'equazione al cui interno compare la densità di corrente dentro un'integrale. Tale densità di corrente può poi essere ricavata ad esempio con metodi numerici.

La densità di corrente sulla superficie di un'antenna è data dall'equazione:

$\underline{J} = I (z) \frac{1}{2 π a} δ (r - a) \underscore i_{z}$ $\underline{J} = I(z) \dfrac{1}{2\pi a} \delta (r - a) \underscore{i}_z$

con $a$ raggio della sezione del filo. L'incognita è la corrente totale $I(z)$ che fluisce attraverso una certa sezione dell'antenna:

$I (z) = \int \underline{J} \cdot {\underline{i}}_{z} d S$ $I(z) = \int{\underline{J} \cdot \underline{i}_z dS}$ .

Per trovare la densitià di corrente $\underline{J}$ si considera il potenziale vettore associato al campo $\underline{E}_S$ prodotto dalla corrente $\underline{J}$ :

$\underline{A} = A_z \underline{i}_z = A_z(\underscore{r},\underscore{r'}) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{\text{superficie antenna}}{ \dfrac{I(z')}{2\pi a} \dfrac{e^{-jk|\underline{r}-\underline{r}'|}} {{|\underline{r}-\underline{r}'|}} a d\phi dz'$ $\underline{A} = A_z \underline{i}_z = A_z(\underscore{r},\underscore{r'}) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{\text{superficie antenna}}{ \dfrac{I(z')}{2\pi a} \dfrac{e^{-jk|\underline{r}-\underline{r}'|}} {{|\underline{r}-\underline{r}'|}} a d\phi dz'$ ,

con $\underline{r}$ vettore punto campo ed $\underline{r}'$ vettore punto sorgente, entrambi posti lungo l'asse dell'antenna. Dev'essere:

${\underline{i}}_{n} \times {\underline{E}}_{S} = {\begin{cases} \underline{0} & fuori dal gap \\ - {\underline{i}}_{n} \times {\underline{E}}_{g} & sul gap \end{cases}$ $\underline{i}_n \times \underline{E}_S = \begin{cases} \underline{0} &\text{fuori dal gap}\\ -\underline{i}_n \times \underline{E}_g &\text{sul gap} \end{cases}$ ,

ovvero: il campo elettrico lungo z tangente all’antenna deve essere nullo fuori dal gap e pari a $-\underline{E}_g$ sul gap.

Va semplificata l'espressione del potenziale vettore, tenendo conto delle caratteristiche del problema.

Si considera la parte di integrale in $d\phi$ , che rappresenta il campo di una distribuzione di corrente posta su un anello dell'antenna. Per la geometria del problema, la distanza $\underline{r}-\underline{r}'$ è indipendente da $\phi$ , così come lo è il ritardo di fase. Perciò si ha:

$\int_{superficie anello} \frac{e^{- j k | \underline{r} - {\underline{r}}^{'} |}}{| \underline{r} - {\underline{r}}^{'} |} d ϕ = \int_{0}^{2 π} \frac{e^{- j k | \underline{r} - {\underline{r}}^{'} |}}{| \underline{r} - {\underline{r}}^{'} |} d ϕ ≅ \frac{e^{- j k | \underline{r} - z^{'} {\underline{i}}_{z} |}}{| \underline{r} - z^{'} {\underline{i}}_{z} |} 2 π$ $\int_{\text{superficie anello}}{\dfrac{e^{-jk|\underline{r}-\underline{r}'|}}{|\underline{r}-\underline{r}'|}d\phi} = \int_{0}^{2\pi}{{\dfrac{e^{-jk|\underline{r}-\underline{r}'|}}{|\underline{r}-\underline{r}'|}d\phi}} \cong \dfrac{e^{-jk|\underline{r}-z' \underline{i}_z|}}{|\underline{r}-z' \underline{i}_z|} 2\pi$

ponendo $\underline{r}' \simeq z'\underline{i}_z$ essendo snella l'antenna. Si ottiene quindi:

$$$ $$$ $A_{z} ≃ \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{superficie antenna} \frac{I (z^{'})}{2 π a} \frac{e^{- j k | \underline{r} - z^{'} {\underline{i}}_{z} |}}{| \underline{r} - z^{'} {\underline{i}}_{z} |} a 2 π d z^{'} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{-l}^{+l} I (z^{'}) \frac{e^{- j k | \underline{r} - z^{'} {\underline{i}}_{z} |}}{| \underline{r} - z^{'} {\underline{i}}_{z} |} d z^{'}$ $A_z \simeq \dfrac{\mu_0}{4\pi}\int_{\text{superficie antenna}} \dfrac{I(z')}{2\pi a} \dfrac{e^{-jk|\underline{r}-z' \underline{i}_z|}}{|\underline{r}-z' \underline{i}_z|} a 2\pi dz' = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{\text{-l}}^{\text{+l}} I(z') \dfrac{e^{-jk|\underline{r}-z' \underline{i}_z|}}{|\underline{r}-z' \underline{i}_z|} dz'$ .

Il campo elettrico è legato al potenziale vettore dall'equazione:

$\underline{E} = - j ω \underline{A} - \frac{j ω}{k_{0}^{2}} \underline{\nabla} (\underline{\nabla} \cdot \underline{A})$ $\underline{E} = -j\omega \underline{A} - \dfrac{j\omega}{k_0^2}\ \underline{\nabla}(\underline{\nabla}\cdot \underline{A})$

con $\omega$ frequenza angolare, $k_0$ costante di propagazione (MazzarellaCampi1kpropagaz) e

$\underline{\nabla} (\underline{\nabla} \cdot \underline{A}) = \underline{\nabla} (\frac{δ A_{z}}{δ z}) = \frac{δ^{2} A_{z}}{δ z^{2}} {\underline{i}}_{z}$ $\underline{\nabla}(\underline{\nabla}\cdot \underline{A}) = \underline{\nabla}\left( \dfrac{\delta A_z}{\delta z} \right) = \dfrac{\delta^2 A_z}{\delta z^2}\ \underline{i}_z$ termine che coincide col gradiente del potenziale scalare $\Phi$ . Perciò:

$\underline{E} = - j ω \underline{A} - \frac{j ω}{k_{0}^{2}} \frac{δ^{2} A_{z}}{δ z^{2}} {\underline{i}}_{z} = - j ω (1 + \frac{1}{k_{0}^{2}} \frac{δ^{2}}{δ z^{2}}) A_{z} {\underline{i}}_{z}$ $\underline{E} = -j\omega \underline{A} - \dfrac{j\omega}{k_0^2} \dfrac{\delta^2 A_z}{\delta z^2} \underline{i}_z = -j\omega \left( 1 + \dfrac{1}{k_0^2} \dfrac{\delta^2}{\delta z^2} \right) A_z \underline{i}_z$ .

Sostituendo nell'ultima equazione l'espressione di $A_z$ precedentemente trovata, si ottiene l'equazione di Pocklington:

$- j ω (1 + \frac{1}{k_{0}^{2}} \frac{δ^{2}}{δ z^{2}}) \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{- ℓ}^{+ ℓ} I (z^{'}) \frac{e^{- k j R}}{R} d z^{'} = {\begin{cases} 0 & fuori dal gap \\ - E_{g} & sul gap \end{cases}$ $-j\omega \left( 1 + \dfrac{1}{k_0^2} \dfrac{\delta^2}{\delta z^2} \right) \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\ell}^{+\ell} I(z') \dfrac{e^{-kjR}}{R} dz' = \begin{cases} 0 &\text{fuori dal gap}\\ -E_g &\text{sul gap} \end{cases}$ .

L'equazione ha un problema di singolarità, ed è presente una discontinuità che causa un errore. È inoltre necessario far sì che sia sempre $\underline{r} \neq \underline{r}'$ .
Equazione di Hallén PSW

$\underline{E} = - j ω (A_{z} + \frac{1}{k_{0}^{2}} \frac{δ^{2} A_{z}}{δ z^{2}}) = {\begin{cases} 0 & fuori dal gap \\ - E_{g} & sul gap \end{cases}$ $\underline{E} = -j\omega \left( A_z + \dfrac{1}{k_0^2} \dfrac{\delta^2 A_z}{\delta z^2} \right) = \begin{cases} 0 &\text{fuori dal gap}\\ -E_g &\text{sul gap} \end{cases}$ ,

$$$ $$$
Antenne corte
Antenne a doppia banda

Si può realizzare un'antenna a doppia banda di frequenza inserendo un circuito parallelo condensatore/induttanza su ciascun braccio dell'antenna. Si vuole ottenere un'antenna che a una certa frequenza $f_H$ funzioni come un'antenna a mezz'onda, e a una frequenza $f_L$ come un'antenna corta.

1.11.4 Antenne stampate PSW

Se la frequenza è elevata, generalmente non si utilizzano antenne filiformi, bensì antenne stampate.

1.11.5 Antenna monomodale PSW

Antenna per cui la forma della corrente non dipende dalla presenza delle altre antenne, ma ne dipende solo l'ampiezza.

1.11.6 Antenne in ricezione PSW

Si consideri un'antenna immersa in un campo elettromagnetico incidente $(\underline{E}_i, \underline{H}_i)$ viene collegata a un utilizzatore (es. una linea di trasmissione). L'antenna può essere vista mediante il suo circuito equivalente, la cui resistenza d'ingresso è quella vista a vuoto ai morsetti dell'antenna, e la tensione a vuoto $V_0$ è ricavata tramite il prodotto scalare tra il campo incidente che arriva sull'antenna, calcolato come se l'antenna non ci fosse, e l'altezza efficace in ricezione (che determina i parametri dell'antenna in ricezione): $V_0 = \underline{h}_{\text{ricezione}} \cdot \underline{E}_i = \underline{h} \cdot \underline{E}_i$ . Per mezzi reciproci (quelli di maggiore interesse), l'altezza efficace è quella in trasmissione. Se si vuole massimizzare il campo ricevuto dall'antenna ricevente, bisogna fare in modo che tale campo sia allineato con l'altezza efficace dell'antenna ricavata in trasmissione.

La potenza che un'antenna riceve quando è investita da un'onda piana, avendo un campo incidente proveniente da una direzione $\underline{k}$ , va valutata tenendo conto del circuito equivalente dell'antenna, avente un'impedenza d'ingresso $Z_i$ e un generatore di tensione $V_0$ . L'antenna è collegata a un carico $Z_c$ . Si vuole ricavare quando il carico assorbe la massima potenza. La potenza sul carico $P_C$ è: